AYUDA EN LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO

¿Qué es un Plano Cartesiano?

El nombre de plano cartesiano, es debido al filósofo, matemático y físico René Descartes (1.596 – 1.650). Quien fue uni de los primeros en utilizarlo en ele estudio de la Geometría Analítica.

Entendemos como plano cartesiano, como un espacio bidimensional (dos dimensiones) donde se puede representar puntos por medios de pares ordenados de números (a, b), llamado condenada del punto. Sí, tenemos varios de esos puntos en un plano cartesiano, debido a una función o ecuación algebraica podemos representar o trazar su curva por medio de una gráfica.

¿Cómo se construye un Plano Cartesiano?

  1. Trazamos dos rectas de números reales perpendiculares entre sí.
  2. Estas dos rectas se deben cortar en el cero (0) de cada recta.
  3. Por lo general, una recta es horizontal, esta la llamamos abscisa o eje-x. La otra recta es vertical, la cual se llama ordenada o eje-y.
  4. El punto donde se cortan o interceptan el eje-x y el eje-y, se llama origen (O).
  5. El eje-x, en dirección a la derecha del origen, es positivo.
  6. El eje-y, en dirección hacia arriba del origen, es positivo.
  7. Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Llamados, I, II, III, y IV, ver Figura 1.
  8. La escala de cada eje puede ser escogida arbitrariamente , pero siempre deben ser proporcionales en todo el eje.
Plano cartesiano, con sus cuadrantes

Ejercicio 1: Describa la posición de algunos de los puntos sobre el siguiente plano cartesiano.

Puntos en el plano cartesiano
  • El punto (-2, 2), se encuentra en el cuadrante II. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la izquierda del origen, y la coordenada y, está a dos posiciones hacia arriba del origen.
  • El punto (2, -4), se encuentra en el cuadrante IV. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la derecha del origen, y la coordenada y, está a cuatro posiciones hacia abajo del origen.
  • El punto (-3, -2), se encuentra en el cuadrante III. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a tres posiciones a hacia la izquierda del origen, y la coordenada y, está a dos posiciones hacia abajo del origen.

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SE HACEN EJERCICIOS DE CÁLCULO INTEGRAL y CALCULO DIFERENCIAL: AYUDA EN PROBLEMAS DE CALCULO. Plano Cartesiano

Distancia entre dos puntos en el Plano Cartesiano

Presentaremos una fórmula para calcular la distasia entre dos puntos distantes en el plano cartesiano. Estos puntos son A(x1,y1) y B(x2,y2), se encuentra arbitrariamente en el plano. Los anteriores puntos, los podemos representar en la siguiente figura del plano:

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano o plano coordenado

La distancia que hay entre dos puntos en el plano, está dado por la fórmula:

Formula para la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

Ejercicio 2: Calcular la distancia entre los puntos A(3, 5) y B(-1, -3) ubicados en el plano coordenado.

Donde tenemos x1= 3 , y1= 5 , x2= -1 , y2=-3 . Reemplazamos en la fórmula y calculamos la distancia

Solucion de problema de la distancia entre dos puntos en el plano coordenado

La distancia del punto A al punto B, es igual a 8,94 unidades.

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Ejercicio 3: ¿Cuáles de los puntos P(1, -2) o Q(8, 9) está más cerca al punto A(5, 3)?

Calculamos la distancia del punto P al punto A, x1= 1 , y1= -2 , x2= 5 , y2=3

Solucion de problemas de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

Calculamos la distancia del punto Q al punto A, x1= 8 , y1= 9 , x2= 5 , y2=3

Problemas de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

Demostramos que d(P, A) < d(Q, A). Por lo tanto, P está más cerca al punto A.

Ejercicio 4: Grafique los puntos en el plano coordenado deforma manual (explicación) y representar en GeoGebra.

(2, 3), (-2, 3), (4, 5), y (-4, 5)

El punto (2, 3), se encuentra en el cuadrante I. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la derecha del origen, y la coordenada y, está a tres posiciones hacia arriba del origen.

El punto (-2, 3), se encuentra en el cuadrante II. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la izquierda del origen, y la coordenada y, está a tres posiciones hacia arriba del origen.

El punto (4, 5), se encuentra en el cuadrante I. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a cuatro posiciones a la derecha del origen, y la coordenada y, está a 5 posiciones hacia arriba del origen.

El punto (-4, 5), se encuentra en el cuadrante II. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a cuatro posiciones a la izquierda del origen, y la coordenada y, está a 5 posiciones hacia arriba del origen.

Graficar puntos en el plano cartesiano en GeoGebra

Ejercicio 5: Graficar los puntos en el plano cartesiano, y determiné la distancia entre ellos.

(-2, 5), (10, 0)

Primero representamos los puntos en el plano cartesiano, utilizamos GeoGebra:

Grafica de puntos en el plano coordenado, para determinar la distancia

Ahora determinamos la distancia existe entre los dos puntos

Hallar la distancia entre dos puntos en el plano Cartesiano

La distancia entre los puntos A y B es de 13 unidades.

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Hallar la distancia entre dos puntos en el Plano Cartesiano utilizando el Software GeoGebra

Lo primero que debemos tener para hallar la distancia de dos puntos, es acceso al ejecutable de GeoGebra (Versión 6) en la computadora o en su versión online (Ejecutables, Instalación y Online de GeoGebra).

Para hacer la explicación, utilizaremos los puntos del ejemplo anterior

Pasos para calcular la distancia ente dos puntos en el plano cartesiano

  • Abrimos GeoGebra en nuestra computadora, nos saldrá algo así:
GeoGebra para graficar puntos en el plano cartesiano
  • Señalamos la Entrada y luego habilitamos el teclado Integrado de GeoGebra. Este nos permitirá escribir e insertar cualquier expresión, en nuestro caso colocamos unos paréntesis.
GeoGebra para graficar puntos en el plano cartesiano
  • Escribimos cada elemento del punto separado de una coma (-2, 5) y (10, 0), y le damos al botón de Enter.
Gráfica de puntos en el plano coordenado, para determinar la distancia en GeoGebra
  • Por último seleccionamos la herramienta Segmento, y comenzamos desde el punto (-2, 5) al punto (10, 0).
Cálculo de la distancia entre dos puntos en GeoGebra

Como podemos observar la distancia entre los dos puntos es de 13 unidades. El cual, es el mismo resultado del Ejercicio 5, este lo hicimos aplicando la fórmula de la distancia.

Para mayor información, recomendamos este video en YouTube. Explicando paso a paso la realización de la gráfica de la distancia entre los dos puntos, en GeoGebra.

Referencias

  • Stewart, J.; Redlin,l.; Watson,S., 2012. Precálculo. Sexta Edición. Thomson Learning. México.
  • Para más Ilustración Visitar en Wikipedia: Coordenadas Cartesianas.
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