AYUDA EN LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO
¿Qué es un Plano Cartesiano?
El nombre de plano cartesiano, es debido al filósofo, matemático y físico René Descartes (1.596 – 1.650). Quien fue uni de los primeros en utilizarlo en ele estudio de la Geometría Analítica.
Entendemos como plano cartesiano, como un espacio bidimensional (dos dimensiones) donde se puede representar puntos por medios de pares ordenados de números (a, b), llamado condenada del punto. Sí, tenemos varios de esos puntos en un plano cartesiano, debido a una función o ecuación algebraica podemos representar o trazar su curva por medio de una gráfica.
¿Cómo se construye un Plano Cartesiano?
- Trazamos dos rectas de números reales perpendiculares entre sí.
- Estas dos rectas se deben cortar en el cero (0) de cada recta.
- Por lo general, una recta es horizontal, esta la llamamos abscisa o eje-x. La otra recta es vertical, la cual se llama ordenada o eje-y.
- El punto donde se cortan o interceptan el eje-x y el eje-y, se llama origen (O).
- El eje-x, en dirección a la derecha del origen, es positivo.
- El eje-y, en dirección hacia arriba del origen, es positivo.
- Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Llamados, I, II, III, y IV, ver Figura 1.
- La escala de cada eje puede ser escogida arbitrariamente , pero siempre deben ser proporcionales en todo el eje.
Ejercicio 1: Describa la posición de algunos de los puntos sobre el siguiente plano cartesiano.
Solución
- El punto (-2, 2), se encuentra en el cuadrante II. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la izquierda del origen, y la coordenada y, está a dos posiciones hacia arriba del origen.
- El punto (2, -4), se encuentra en el cuadrante IV. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la derecha del origen, y la coordenada y, está a cuatro posiciones hacia abajo del origen.
- El punto (-3, -2), se encuentra en el cuadrante III. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a tres posiciones a hacia la izquierda del origen, y la coordenada y, está a dos posiciones hacia abajo del origen.
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Distancia entre dos puntos en el Plano Cartesiano
Presentaremos una fórmula para calcular la distasia entre dos puntos distantes en el plano cartesiano. Estos puntos son A(x1,y1) y B(x2,y2), se encuentra arbitrariamente en el plano. Los anteriores puntos, los podemos representar en la siguiente figura del plano:
La distancia que hay entre dos puntos en el plano, está dado por la fórmula:
Ejercicio 2: Calcular la distancia entre los puntos A(3, 5) y B(-1, -3) ubicados en el plano coordenado.
Solución
Donde tenemos x1= 3 , y1= 5 , x2= -1 , y2=-3 . Reemplazamos en la fórmula y calculamos la distancia
La distancia del punto A al punto B, es igual a 8,94 unidades.
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Ejercicio 3: ¿Cuáles de los puntos P(1, -2) o Q(8, 9) está más cerca al punto A(5, 3)?
Solución
Calculamos la distancia del punto P al punto A, x1= 1 , y1= -2 , x2= 5 , y2=3
Calculamos la distancia del punto Q al punto A, x1= 8 , y1= 9 , x2= 5 , y2=3
Demostramos que d(P, A) < d(Q, A). Por lo tanto, P está más cerca al punto A.
Ejercicio 4: Grafique los puntos en el plano coordenado deforma manual (explicación) y representar en GeoGebra.
(2, 3), (-2, 3), (4, 5), y (-4, 5)
Solución
El punto (2, 3), se encuentra en el cuadrante I. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la derecha del origen, y la coordenada y, está a tres posiciones hacia arriba del origen.
El punto (-2, 3), se encuentra en el cuadrante II. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a dos posiciones a la izquierda del origen, y la coordenada y, está a tres posiciones hacia arriba del origen.
El punto (4, 5), se encuentra en el cuadrante I. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a cuatro posiciones a la derecha del origen, y la coordenada y, está a 5 posiciones hacia arriba del origen.
El punto (-4, 5), se encuentra en el cuadrante II. La ubicación de la coordenada x, se encuentra a cuatro posiciones a la izquierda del origen, y la coordenada y, está a 5 posiciones hacia arriba del origen.
Ejercicio 5: Graficar los puntos en el plano cartesiano, y determiné la distancia entre ellos.
(-2, 5), (10, 0)
Solución
Primero representamos los puntos en el plano cartesiano, utilizamos GeoGebra:
Ahora determinamos la distancia existe entre los dos puntos
La distancia entre los puntos A y B es de 13 unidades.
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Hallar la distancia entre dos puntos en el Plano Cartesiano utilizando el Software GeoGebra
Lo primero que debemos tener para hallar la distancia de dos puntos, es acceso al ejecutable de GeoGebra (Versión 6) en la computadora o en su versión online (Ejecutables, Instalación y Online de GeoGebra).
Para hacer la explicación, utilizaremos los puntos del ejemplo anterior
Pasos para calcular la distancia ente dos puntos en el plano cartesiano
- Abrimos GeoGebra en nuestra computadora, nos saldrá algo así:
- Señalamos la Entrada y luego habilitamos el teclado Integrado de GeoGebra. Este nos permitirá escribir e insertar cualquier expresión, en nuestro caso colocamos unos paréntesis.
- Escribimos cada elemento del punto separado de una coma (-2, 5) y (10, 0), y le damos al botón de Enter.
- Por último seleccionamos la herramienta Segmento, y comenzamos desde el punto (-2, 5) al punto (10, 0).
Como podemos observar la distancia entre los dos puntos es de 13 unidades. El cual, es el mismo resultado del Ejercicio 5, este lo hicimos aplicando la fórmula de la distancia.
Para mayor información, recomendamos este video en YouTube. Explicando paso a paso la realización de la gráfica de la distancia entre los dos puntos, en GeoGebra.
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Referencias
- Stewart, J.; Redlin,l.; Watson,S., 2012. Precálculo. Sexta Edición. Thomson Learning. México.
- Para más Ilustración Visitar en Wikipedia: Coordenadas Cartesianas.