ASESORÍA PARA GRAFICAR FUNCIONES CUADRÁTICAS: PASO A PASO

Estudiaremos las principales características que debemos tener en cuenta para graficar funciones cuadráticas en la forma normal y estándar. Hallamos los vértices y cuando esté es un mínimo o un máximo al graficar la funciones cuadráticas.

Graficar Funciones Cuadráticas utilizando su forma Normal

Sabemos que una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. Y, en su forma Estándar es

f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0      (E.c 1)

Esta la podemos llevar o expresar en la forma Normal, como

f(x) = a(x – h)2 + k      (E.c 2)

Completando el cuadrado.

Vértices de una Ecuación Cuadrática

Toda funciona cuadrática f, al ser representada gráficamente es una parábola con vértice (h, k).

  • Si a > 0, la parábola abre hacia arriba.
Vertices de una Grafica de una Ecuacion Cuadratica cuando abre hacia arriba
  • Si a > 0, la parábola abre hacia abajo.
Vertices de una Grafica de una Ecuacion Cuadratica cuando abre hacia abajo

Ejercicio 1) Exprese la siguiente función cuadrática en su forma Normal, y luego graficar la función cuadrática, utilizando la forma Normal.

f(x) = 2x2 – 12x + 23      (E.c 3)

Primero factorizamos 2 de los términos de x.

f(x) = 2(x2 – 6x) + 23

Completamos el cuadrado, se suma (b/2)2 adentro del paréntesis

ax2 + bx + (b/2)2

De esta forma completamos el cuadrado perfecto. Para nuestro caso (6/2)2 = 9, se suma 9 dentro del paréntesis y se resta (2).(9) fuera

f(x) = 2(x2 – 6x + 9) + 23 – (2).(9)

Se factoriza por prueba y error, y se simplifica

f(x) = 2(x – 3)(x – 3) + 23 – 18

f(x) = 2(x – 3)2 + 5      (E.c 4)

Hemos encontrado la forma Normal de la función cuadrática original.

De la ecuación anterior (E.c 4), podemos deducir que h = 3 y k = 5, teniendo en cuenta la forma Normal (E.c 2). Por lo tanto, el vértice es

(3 , 5)

También sabemos que de la función cuadrática en su forma estándar que a = 2, esto nos indica que a > 0, como consecuencia la parábola de la función cuadrática abre hacia arriba.

Ahora, siempre calculamos él interceptó con el eje-y, cuando x = 0. Para de esta manera, tener un punto más a la hora de graficar las funciones cuadráticas.

f(0) = 2(0)2 – 12(0) + 23

f(0) = 23

Para encontrar otro punto sobre la curva de la ecuación cuadrática, evaluamos un punto después del vértice, puede ser cuando x = 5.

f(5) = 2(5)2 – 12(5) + 23 = 2(25) – 60 + 23

f(5) = 50 – 37 = 13

Con estos datos podemos hacer un esbozo de la gráfica de la función cuadrática.

Grafica de una funcion cuadratica por la forma Normal y Vertice

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Graficar Funciones Cuadráticas en su forma Estándar

En la sección anterior, primero hallamos la forma Normal, para luego calcular el vértice. Y así, de esta manera poder graficar la función cuadrática. En esta sección utilizaremos la manera Estándar (E.c 1), que es la versión más común en que se presenta las ecuaciones cuadráticas.

Primero debemos definir, que se entiende, por un máximo y un mínimo en una función cuadrática.

Definición y Cálculo de los Máximos y Mínimos de Ecuación Cuadrática

  1. Las funciones cuadráticas tienen un valor mínimo en el vértice cuando a > 0, ósea cuando la parábola abre hacia arriba.
  2. Las funciones cuadráticas tienen un valor máximo en el vértice cuando a < 0, ósea cuando la parábola abre hacia abajo.

Para calcular el vértice mínimo o máximo de la función cuadrática, tenemos la siguiente ecuación:

x = h = (-b)/2a      (E.c 5)

Donde a y b son los coeficientes de la ecuación cuadrática arreglada de forma estándar.

Pasos para Graficar en su forma Estándar

  1. Primero tenemos que Verificar es que la función cuadrática esté escrita de manera Estándar (E.c 1).
  2. Luego sacar cada coeficiente de la ecuación a, b, y c.
  3. Hallamos x, con la (E.c 5).
  4. Luego evaluamos x en la función cuadrática del problema f((-b)/2a), con esto hallamos el valor mínimo o máximo según sea el caso.
  5. Hallamos el punto donde la curva corta el eje-y, cuado x=0.
  6. Hallamos las soluciones donde la función corta el eje-x, cuando f(x)=0.

Ejercicio 2) Graficar las funciones cuadráticas en su forma Estándar

f(x) = -x2 + 6x – 5

Los valores de los coeficientes de la ecuación son a=-1, b=6 y c=-5

Como a<0, la parábola abre hacia abajo, por lo tanto, la función tiene un máximo en su vértice. Este máximo ocurre en

x = (-6)/(2(-1)) = 6/2

x = 3

El máximo de la función es en f(3). Sustituimos x=3 en la ecuación cuadrática

f(3) = -(3)2 + 6(3) – 5 = -9 + 18 – 5

f(3) = 4

El vértice seria en el punto (3, 4)

Ahora hallamos el punto donde la curva corta el eje-y, cuado x=0.

f(0) = -(0)2 + 6(0) – 5

f(0) = -5

Hallamos las soluciones donde la función corta el eje-x, cuando f(x)=0.

-x2 + 6x – 5 = 0

Multiplicamos por -1 toda la función

x2 – 6x + 5 = 0

Factorizamos el trinomio de la función cuadrática por Ensayo y Error, buscamos dos números que multiplicados den 5 y sumados de -6.

(x + )(x + ) = 0

Nota: Si la factorización fuese más compleja, podemos utilizar otras técnicas de factorización como el método de Descomposición y el método de Partida Triple estudiando anteriormente.

Estos números son -5 y -1

(x – 5)(x – 1) = 0

Nos queda dos factores y despejamos sus respectivas x.

x – 5 = 0       x – 1 = 0

x = 5       x = 1

Con estos puntos, sobre la curva que hemos hallado, podemos trazar la gráfica de la función cuadrática. En resumen tenemos:

f(3) = 4       f(0) = 5       f(5) = 0       f(1) = 0

Representamos en un plano cartesiano y tenemos la gráfica

Gráfica de función cuadrática para la forma estándar Parábola con Máximo
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Graficar una función cuadrática en el Software GeoGebra

Lo primero que debemos tener para graficar funciones cuadráticas, es acceso al ejecutable de GeoGebra (Versión 6) en la computadora o en su versión online (Ejecutables, Instalación y Online de GeoGebra). Ya hace más de un año GeoGebra ha implementado este sistema, el cual debes crear una cuenta para poder guardar tus proyectos tanto en la versión online, como el ejecutable. También puedes optar por descargar la versión GeoGebra Clásico 5 para instalarlo en tu computadora.

Pasos para graficar en GeoGebra una función cuadrática

  • Abrimos GeoGebra en nuestra computadora, nos saldrá algo así:
GeoGebra para graficar ecuaciones Cuadraticas paso 1
  • Señalamos la Entrada y luego habilitamos el teclado Integrado de GeoGebra. Este nos permitirá escribir e insertar cualquier ecuación, en nuestro caso una función cuadrática. Este se encuentra en la parte inferior izquierda.
GeoGebra para graficar ecuaciones Cuadraticas paso 2
  • Escribimos la función cuadrática que queremos graficar con el teclado Integrado, y le damos al botón de Enter.
GeoGebra para graficar ecuaciones Cuadráticas paso 3. Graficar  Funciones Cuadráticas

Para mayor ilustración recomendamos este video en YouTube, explicando paso a paso la realización de la gráfica en GeoGebra. Además, se explicará los interceptos con los ejes del plano, y el vértice de la función cuadrática.

Graficar una función cuadrática en Excel

Debemos tener Microsoft Excel para graficar ecuaciones cuadráticas, en cualquiera de sus versiones en su computadora, recomendamos la versión de Excel 2016 y 365.

Pasos para graficar en Excel una función cuadrática

  • Debemos crear una tabla de dos columnas y sus respectivos encabezados, que en nuestro caso serian con las variables x y y.
  • Dar valores a la variable independiente x, puedes tomar un rango de 10 a -10, por la tanto serian unos 21 puntos sobre la gráfica.
  • Para rellenar estos valores escribe los primeros tres términos de los valores de x, en este caso puede ser 10, 9, y 8, luego selecciona los tres y en la esquina inferior del último número aparece un cuadro arrastra hasta el final de la tabla para rellenar las demás celdas vacías.
Excel para graficar una funcion cuadratica - dando valores a x en la tabla
  • Seleccionamos la primera celda vacía de la columna de la variable y, damos doble clic e introducimos la ecuación cuadrática, en nuestro ejemplo será x2 – 4x + 7. Donde aparece la variable x en la ecuación, la reemplazamos por la primera celda de la columna de la variable x.
Ingresando la función cuadrática en la celda de Excel. Graficar  Funciones Cuadráticas
  • Luego, damos Enter, seleccionamos el cuadrito del lado izquierdo de la celda y arrastramos hacia la última celda de valores de x, así obtendremos los demás valores.
Calculando los valores de la función cuadrática en Excel para graficar. Graficar  Funciones Cuadráticas
  • Por último, seleccionamos la tabla de datos, y buscamos en la barra superior de Excel, donde dice insertar gráfico de dispersión y listo.
Gráfica de la función cuadrática en Excel - Paso a paso. Graficar  Funciones Cuadráticas

Para mayor información y claridad recomendamos este video en YouTubeexplicando paso a paso la realización de la gráfica en Excel.

Referencias

  • Stewart, J.; Redlin,l.; Watson,S., 2012. Precálculo. Sexta Edición. Thomson Learning. México.
  • Para más Ilustración Visitar en Wikipedia: Función Cuadrática.
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