AYUDA EN TÉCNICAS DE FACTORIZACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Las funciones o ecuaciones cuadráticas son de amplia utilización en diferentes disciplinas y áreas del saber. Por lo que, adquiere una gran importancia el estudio de cómo podemos Factorizar Ecuaciones Cuadráticas con diferentes ejemplos y soluciones. A continuación, explicaremos varias técnicas de factorización de ecuaciones cuadráticas.
Conceptos de Factorización de Funciones Cuadráticas
La factorización consiste en simplificar o llevar una expresión algebraica a términos o factores más simples. Estos factores, normalmente se multiplican entre sí, aplicando la propiedad distributiva. En este caso, abordaremos las expresiones algebraicas de segundo grado, llamadas Ecuaciones Cuadráticas.
Una función cuadrática está compuesta normalmente por tres términos. El término independiente o constante, el término lineal, y el término cuadrático. Los dos primeros pueden estar ausentes, pero el término cuadrático, siempre debe estar presente. Como puedes ver en los siguientes ejemplos:
ax2 + bx + c
x2 – 5x + 6
6x2 + 4x + 2
16x2 + 8
Para cualquiera de los métodos a utilizar, primero se debe ordenar los términos de la ecuación cuadrática, de mayor potencia a menor, este arreglo se llama forma «estándar».
Primera Técnica: Factorización de Ecuaciones Cuadráticas por Descomposición
- Multiplicamos los valores de los coeficientes de a y c de la ecuación cuadrática.
- Ahora buscamos dos números (h y k), que multiplicados den como resultado el número hallado en el primer paso, y que sumados sea el valor del coeficiente b de la ecuación cuadrática.
- Descomponemos el término lineal bx, con los dos números hallados bx=hx + kx. Nos queda así ax2+hx+kx+c
- Agrupamos los términos restantes en dos factores que se suman; un factor cuadrático y un factor lineal. (ax2+hx)+(kx+c)
- Hallamos el Máximo Común Divisor de cada factor.
- Finalmente, utilizando la propiedad distributiva, sacamos el factor común que multiplica el Máximo Común Divisor de cada factor.
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Ejercicio 1) Factorizar la siguiente Ecuación Cuadrática por el método de Descomposición con a=1
x2 – 5x + 6
Solución
Multiplicamos los valores de los coeficientes de a=1 y c=6
1 × 6 = 6
Buscamos dos números, que multiplicados den como resultado el número hallado en el primer paso, y que sumados sea el valor del coeficiente b.
(-3) × (-2) = 6
(-3) + (-2) = -5
Descomponemos el término lineal bx, con los dos números hallados.
x2 – 3x -2x + 6
Agrupamos los términos restantes en dos factores.
(x2 – 3x) + (-2x + 6)
Hallamos el Máximo Común Divisor de cada factor.
x(x – 3) + (-2)(x – 3)
Sacamos el factor común que multiplica el Máximo Común Divisor de cada factor.
(x – 2)(x – 3)
Esta es la factorización de la función cuadrática, por el método de Descomposición.
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Ejercicio 2) Factorizar la siguiente Ecuación Cuadrática por Descomposición
2x2 + 5 x + 3
Solución
Multiplicamos los valores de los coeficientes de a=2 y c=3.
2 × 3 = 6
Buscamos dos números, que multiplicados den como resultado el número hallado en el primer paso, y que sumados sea el valor del coeficiente b.
(3) × (2) = 6
(3) + (2) = -5
Descomponemos el término lineal bx, con los dos números hallados.
2x2+3x+2x+3
Agrupamos los términos restantes en dos factores.
(2x2+3x) + (2x+3)
Hallamos el Máximo Común Divisor de cada factor.
x(2x+3) + (2x+3)
Sacamos el factor común que multiplica el Máximo Común Divisor de cada factor.
(x+1)(2x+3)
Esta es la factorización de la ecuación cuadrática, por el método de Descomposición.
Ejercicio 3) Factorizar la siguiente Ecuación Cuadrática Completa por Descomposición.
9x2 – 36x – 45
Solución
Multiplicamos los valores de los coeficientes de a=9 y c=-45
9 × (-45) = -405
Buscamos dos números, que multiplicados den como resultado el número hallado en el primer paso, y que sumados sea el valor del coeficiente b.
(9) × (-45) = 6
(9) + (-45) = -36
Descomponemos el término lineal bx, con los dos números hallados.
9x2 + 9x – 45x – 45
Agrupamos los términos restantes en dos factores
(9x2 + 9x) + (-45x – 45)
Sacamos el factor común que multiplica el Máximo Común Divisor de cada factor.
(9x – 45)(x + 1)
Esta es la factorización de la ecuación cuadrática, por el método de Descomposición.
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Segunda Técnica: Factorización de Ecuaciones Cuadráticas por Partida Triple
- Multiplicamos los valores de los coeficientes de a y c de la ecuación.
- Luego buscamos dos números (h y k), que multiplicados den como resultado el número hallado en el primer punto. Y que sumados sea el valor del coeficiente b de la E.c cuadrática.
- Utilizamos la fórmula de la Partida Triple. Sustituimos los dos números encontrados en el paso anterior. (ax + h)(ax + k)/a
- Hallamos el Máximo Común Divisor de cada uno de los términos.
- Finalmente, simplificamos términos semejantes. Al eliminar el valor del denominador.
Ejercicio 1) Factorizar la siguiente Ecuación Cuadrática por el método de Partida Triple con a=1
x2 – 8 x + 15
Solución
Multiplicamos los valores de los coeficientes de a=1 y c=15
1 x 15 = 15
Buscamos dos números, que multiplicados den como resultado el número hallado en el primer punto, y que sumados sea el valor del coeficiente b.
(-3) x (-5) = 15
(-3) + (-5) = -8
Utilizamos la fórmula de la Partida Triple.
(ax + h)(ax + k)/a
(1x – 3)(1x – 5)/1
Hallamos el Máximo Común Divisor de cada uno de los términos
1(x – 3)(x – 5)/1
Finalmente, simplificamos términos semejantes
(x – 3)(x – 5)
Esta es la factorización de la E.c cuadrática, por el método de Partida Triple.
Ejercicio 2) Factorizar la siguiente Ecuación Cuadrática por el método de Partida Triple
2x2 + 12x + 16
Solución
Multiplicamos los valores de los coeficientes de a=2 y c=16.
2 x 16 = 32
Buscamos dos números, que multiplicados den como resultado el número hallado en el primer punto, y que sumados sea el valor del coeficiente b.
(8) x (4) = 32
(8) + (4) = 12
Utilizamos la fórmula de la Partida Triple
(ax + h)(ax + k)/a
(2x + 8)(2x + 4)/2
Hallamos el Máximo Común Divisor de cada uno de los términos.
2(x + 4)2(2x + 4)/2
Finalmente, simplificamos términos semejantes
2(x + 4)(x + 2)
Esta es la factorización de la ecuación cuadrática, por el método de Partida Triple.
Para mayor Estudio de como realizar una Factorización de Ecuaciones Cuadráticas Paso a Paso, recomendamos el siguiente tutorial.
Ayuda en Tecnicas de Factorizacion para Ecuaciones Cuadraticas
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Referencias
- Stewart, J.; Redlin,l.; Watson,S., 2001. Precálculo: Matemáticas para el cálculo. 6a Edición. Thomson Learning. México.
- Para más Ilustración Visitar en Wikihow: Como factorizar polinomios de segundo grado.